Ma Trận Trực Giao Là Gì – Từ Điển Tiếng Việt Ma Trận Trực Giao

A.

Bạn đang xem:

Mỗi thành phần của một ma trận thường đc ký hiệu bằng một trở nên với nhì chỉ số ở bên dưới. Ví dụ, a2,1 màn trình diễn thành phần ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trậnBạn đang xem: Ma trận trực giao

Bài Viết: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học, ma trận là 1 trong mảng chữ nhật<1>—những số, cam kết hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng & cột<2><3>—mà mỗi ma trận tuân theo những pháp lý định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là những bộ phận hoặc mục. Lấy ví dụ một ma trận gồm 2 hàng và 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}

*

Khi đều ma trận gồm cùng form size (chúng gồm có cùng số hàng & cùng số cột), thì trọn vẹn trọn vẹn hoàn toàn có thể xây đắp phép cùng hoặc trừ nhị ma trận bên trên những thành phần tương ứng của chúng. Mặc dù nhiên, lao lý cần thực thi được phép nhân ma trận chỉ rất có thể thi công đc khi ma trận thứ nhất có số cột ngay số hàng của ma trận vật phẩm hai. ứng dụng chính của ma trận đây là phép màn màn biểu diễn những biến hóa tuyến tính, có nghĩa là sự toàn diện và tổng thể hóa hàm tuyến đường tính như f(x) = 4x. Ví dụ, phép quay những vectơ trong không trung cha chiều là một trong phép thay đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận xoay R: nếu như v là vectơ cột (ma trận chỉ chứa một cột) diễn đạt nơi đặt của một điểm trong không trung, tích của Rv là 1 trong vec tơ cột diễn đạt nơi đặt của đặc điểm đó sau phép con quay này. Tích của nhì ma trận biến đổi là một ma trận màn biểu diễn hợp của nhì phép đổi khác tuyến tính. Một trong những ứng dụng khác của ma trận đấy là tìm nghiệm của không ít hệ phương trình con đường tính. Nếu như là ma trận vuông, rất có thể thu được 1 số ít điểm sáng của nó bằng giải pháp tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu & chỉ nếu định thức của chính nó khác không. Quan niệm hình học tập của một phép thay đổi tuyến tính là nhận được (song tuy vậy với những thông tin khác) trường đoản cú trị riêng and vec tơ riêng không liên quan gì đến nhau của ma trận.

Có thể cảm nhận thấy ứng dụng của kim chỉ nan ma trận trong phần nhiều những ngành nghề khoa học. Trong những nhánh của đồ vật lý học, toàn bộ cơ học cổ xưa, quang đãng học, điện từ học, cơ học tập lượng tử, và điện đụng lực học tập lượng tử, chúng được cần triển khai để nghiên góp những hiện tượng kỳ lạ lạ vật lý, như chuyên chở của đồ vật rắn. Trong giao diện máy tính, ma trận được cần vận dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình hiển thị hiển thị 2 chiều. Trong triết lý Xác Suất & đo đạc, đều ma trận bất kể đc cần áp dụng để diễn đạt tập hợp hầu hết xác suất; ví dụ, chúng sử dụng trong thuật toán PageRank nhằm mục đích xếp sản phẩm hạng mọi trang vào lệnh tìm kiếm của Google.<4> Phép tính ma trận tổng thể hóa những khái niệm trong giải tích như đạo hàm and hàm mũ nếu với số chiều khổng lồ hơn.

Một nhánh thiết yếu của giải tích số dành riêng để nâng cấp cải tiến và tăng trưởng những thuật toán có ích cho những giám sát và thống kê giám sát và thống kê ma trận, một chủ thể đã hàng trăm năm tuổi and là 1 ngành nghề nghiên góp rộng ngày nay. Cách thức khai triển ma trận làm đơn thuần hóa những thống kê giám sát và đo lường và thống kê cả về mặt triết lý lẫn thực hành. Những thuật toán dựa vào những cấu trúc của đông đảo ma trận tính chất, như ma trận thưa (sparse) and ma trận sát chéo, cứu giải quyết và xử lý và xử lý những đo lường và đo lường và thống kê trong bí quyết thức thành phần hữu hạn và những đo lường và tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học thiên thể and triết lý nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận màn trình diễn những toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

1 Định nghĩa 1.1 Độ lớn 2 lịch sử vẻ vang 3 cam kết hiệu 4 số đông phép toán căn phiên bản 4.1 Phép cộng, nhân 1 số ít trong những với ma trận, và ma trận gửi vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phép toán mặt hàng 4.4 Ma trận bé 5 Phương trình đường tính 6 biến đổi tuyến tính 7 Ma trận vuông 7.1 Những nhiều loại ma trận đặc thù 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị công dụng 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch & nghịch đảo của nó 7.1.5 Ma trận chứng tỏ và khẳng định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Những giám sát hầu hết 7.2.1 vết 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch đảo 7.2.4 Vectơ riêng và trị riêng 8 Khía cạnh giám sát 9 so sánh ma trận 10 kỹ càng đại số trừu tượng and tổng quát hóa 10.1 Ma trận cùng với những thành phần mở rộng 10.2 Mối tương tác với ánh xạ tuyến đường tính 10.3 đội ma trận 10.4 Ma trận rỗng 11 ứng dụng 11.1 kim chỉ nan đồ thị 11.2 Giải tích & hình học 11.3 lý thuyết Xác Suất và đo đạc 11.4 Đối xứng and những đổi khác trong vật dụng lý học tập 11.5 tổng hợp tuyến tính của không ít trạng thái lượng tử 11.6 giao động riêng 11.7 quang quẻ hình học tập 11.8 Điện tử học tập 12 Đọc thêm 13 Đọc thêm 13.1 Đọc thêm về đồ vật lý 13.2 Đọc thêm về lịch sử vẻ vang 14 link ngoài

Định nghĩa

Ma trận là một mảng chữ nhật chứa những số hoặc những đối tượng người dùng người tiêu dùng người chi tiêu và sử dụng toán học khác, mà hoàn toàn có thể định nghĩa 1 số ít phép toán như cùng hoặc nhân trên phần đa ma trận.<5> Hay chạm mặt nhất đấy là ma trận trên một ngôi trường F là một trong những mảng chữ nhật chứa đa số đại lượng vô hướng của F.<6><7> bài viết này đề cập tới những ma trận thực and phức, có nghĩa là những ma trận cơ mà những thành phần của nó là những số thực hoặc số phức. Các loại ma trận tổng quát hơn đc bàn thảo ở dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A =. =-1,3&0,620,4&5,59,7&-6,2end}.}

*

Những số, ký hiệu tuyệt biểu thức vào ma trận được gọi là những thành phần của nó. Những đường theo phương ngang hoặc phương dọc đựng những thành phần trong ma trận được gọi tương ứng là hàng & cột.

Độ lớn

Độ to hay độ lớn của ma trận đc định nghĩa bằng con số hàng & cột nhưng mà ma trận có. Một ma trận m hàng and n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong lúc m and n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A sinh sống trên cao là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ cất một hàng điện thoại cảm ứng tư vấn là vectơ hàng, and những ma trận chỉ cất một cột gọi là vectơ cột. Ma trận gồm có cùng số hàng & số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận gồm vô hạn số mặt hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) đc gọi là ma trận vô hạn. Trong một trong những điều kiện, như lịch trình đại số trang bị tính, sẽ bổ ích khi xét một ma trận mà không tồn tại hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

tên gọi Độ to lớn Ví dụ thể hiện Vectơ mặt hàng 1 × n 3&7&2end}}

*

Ma trận đựng một hàng, những khi đc sử dụng để biểu diễn một vectơ Vectơ cột n × 1 418end}}

*

Ma trận đựng một cột, nhiều khi được sử dụng để màn trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}

*

Ma trận gồm có cùng số hàng & số cột, nó được cần sử dụng để màn biểu diễn phép quy đổi tuyến tính xuất phát điểm từ 1 không trung vec tơ vào chính nó, như phép bội phản ứng, phép con quay hoặc ánh xạ cắt.

lịch sử

Ma trận chứa một lịch sử dân tộc bản địa dài về phần mềm trong giải phần đa phương trình tuyến tính nhưng lại chúng được biết mang lại là phần nhiều mảng tính đến tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào thời hạn năm 152 TCN nêu ra phương trận nhằm giải hệ năm phương trình đường tính,<8> gồm có cả khái niệm về định thức. Năm 1545 công ty toán học người Ý Girolamo Cardano ra đời chiêu thức giải này vào châu Âu khi ông tuyên tía quyển Ars Magna.<9> công ty toán học Nhật bản Seki đã bắt buộc sử dụng phương pháp mảng này để giải hệ phương trình vào thời gian năm 1683.<10> bên toán học Hà Lan Jan de Witt lần thứ nhất màn trình diễn những vươn lên là đổi dưới dạng ma trận mảng vào cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> giữa những năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương pháp cần sử dụng những mảng nhằm lưu lại tin tức hay tìm kiếm nghiệm and nghiên giúp trên 50 những loại ma trận không giống nhau.<9> Cramer nêu ra lao lý của ông vào thời gian năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất trường đoản cú mater—mẹ<12>) bởi James Joseph Sylvester vứt ra vào thời gian năm 1850,<13> lúc ông riêng biệt rằng ma trận là một đối tượng người tiêu dùng người chi tiêu và sử dụng làm xuất hiện một số định thức mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu đc từ ma trận bắt đầu bằng phương pháp xóa đi rất nhiều hàng & những cột. Vào một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã có mang trong bài bác báo trước về “Ma trận” là một mảng chữ nhật chứa phần đông phần tử, mà những định thức không giống nhau hoàn toàn có thể nêu ra định thức của ma trận mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một siêng luận về rất nhiều phép biến hóa hình học tập cần triển khai ma trận ngoài các phép biến hóa quay đã đc điều tra trước đó. Cầm cố vào đó, ông định nghĩa hầu hết phép toán như cộng, trừ, nhân and chia những ma trận này and chứng tỏ những pháp luật kết hợp and đống ý vẫn đc tán thành. Cayley vẫn nghiên giúp & dẫn chứng điểm quan tâm không thanh toán thanh toán giao dịch của phép nhân ma trận gần giống tính giao dịch của phép cộng ma trận.<9> triết lý ma trận sơ khai bị số lượng số lượng giới hạn ở phương pháp cần sử dụng những mảng và tính định thức and những phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley vẫn trở nên cuộc phương pháp mạng cho triết lý này. Ông cần sử dụng khái niệm ma trận đến hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley tuyên ba Nhật cam kết về định hướng ma trận<15><16> trong những số đó ông chi ra and dẫn chứng định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà toán học fan Anh Cullis là tín đồ thứ nhất cần sử dụng ký hiệu ngoặc văn minh cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu đặc biệt quan trọng A = để màn trình diễn một ma trận với ai,j là thành phần ở hàng thứ i and cột máy j.<9>

Công đoạn nghiên giúp định thức khởi thủy từ một vài nguồn không giống nhau.<17> Những yếu tố số học tập dẫn Gauss đi đến tương tác những thông số kỹ thuật của dạng toàn phương, các đa thức bao gồm dạng x2 + xy − 2y2, and ánh xạ con đường tính trong không trung ba chiều cùng với ma trận. Eisenstein đã tăng trưởng xa hơn phần lớn khái niệm này, với review theo phương thức phát thể hiện đại rằng tích ma trận là ko giao hoán. Cauchy là người trước tiên chứng minh các mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông cần sử dụng tư tưởng như sau về định thức của ma trận A = : sửa chữa thay thế lũy thừa ajk bởi ajk trong đa thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

*
với Π cam kết hiệu tích những hệ số đứng đằng sau. Ông cũng minh chứng vào năm 1829 rằng kinh phí riêng của các ma trận đối xứng là thực.

Xem thêm:

<18> Jacobi nghiên góp “định thức hàm”—mà về sau biến thành định thức Jacobi như phương pháp gọi của Sylvester—nó được phần mềm để nghiên giúp những quy đổi hình học tập ở mức toàn thể (hay khôn cùng bé); bài xích báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> & Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhị đều được tuyên bố vào năm 1903, lần trước tiên vẫn coi định thức theo phương pháp tiên đề hóa, trái lại nếu với phương pháp tiếp cận chi tiết ở các lần trước đó như trong cách làm của Cauchy.

với Π cam kết hiệu tích những hệ số đứng đằng sau. Ông cũng minh chứng vào năm 1829 rằng kinh phí riêng của các ma trận đối xứng là thực.Xem thêm: Năm Sinh 1977 Là Cung Mệnh Gì? Tử Vi Tuổi Đinh Tỵ 1977 Cung Gì ? <18> Jacobi nghiên góp “định thức hàm”—mà về sau biến thành định thức Jacobi như phương pháp gọi của Sylvester—nó được phần mềm để nghiên giúp những chuyển đổi hình học tập ở mức toàn thể (hay khôn cùng bé); bài xích báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> & Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhị đều được tuyên bố vào năm 1903, lần trước tiên vẫn coi định thức theo phương pháp tiên đề hóa, trái lại nếu với phương pháp tiếp cận chi tiết ở các lần trước đó như trong cách làm của Cauchy.

Nhiều định lý thuở đầu chỉ phát biểu cho đều ma trận bé xíu dại, ví như định lý Cayley–Hamilton đc chứng tỏ cho ma trận 2×2 như Cayley đặt ra trong luận án của tớ, and bởi Hamilton mang đến ma trận 4×4. Frobenius, dựa trên những dạng tuy nhiên tuyến tính, đã tổng quát định lý lịch sự mọi size (1898). Cũng vào vào cuối thế kỷ 19 phương pháp khủ Gauss–Jordan (tổng quát mắng hóa cho đk đặc thù đây là phép khử Gauss) bởi vì nhà trắc địa Wilhelm Jordan bỏ ra. Trong đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới mức thiên chức trung chổ chính giữa trong đại số con đường tính,<21> một trong những phần nhờ phần mềm của nó vào phân loại khối mạng lưới hệ thống số vô cùng phức trong cố gắng kỷ trước.

Sự ban đầu của cơ học ma trận vì những nhà đồ vật lý Heisenberg, Born & Jordan chi ra đã mang đến nghiên góp về ma trận tất cả vô hạn hàng and cột.<22> Later, von Neumann đã cấu hình thiết lập lên phát biểu toán học tập của cơ học tập lượng tử, bằng cách thức cải cách và phát triển xa hơn phần lớn khái niệm của giải tích hàm như toán tử đường tính trong không trung Hilbert, mà, nói sơ lược, tương xứng với ko trung Euclide, nhưng có vô hạn hướng độc lập.

A =. =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}

Một phương thức ký hiệu khác là cần sử dụng dấu ngoặc solo to cầm đồ cho vệt ngoặc vuông: