VỀ PHÉP BIẾN đổi TRỰC GIAO và MA TRẬN TRỰC GIAO (tt) – Tài liệu text

VỀ PHÉP BIẾN đổi TRỰC GIAO và MA TRẬN TRỰC GIAO (tt)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản khá đầy đủ của tài liệu tại đây (499.52 KB, 10 trang )

VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO VÀ MA TRẬN TRỰC GIAO
Nguyễn Tiến Quang
Hội Toán học Hà Nội
Lê Thị Hoài Thu
Trường Đại học Quảng Bình
Tóm tắt. Phép đổi khác trực giao gắn liền với bài toán phân loại những đường, mặt bậc hai trong
một khoảng trống Euclide. Nó có nhiều cách đặc trưng trải qua khoảng trống vectơ hoặc ma trận,
và do đó hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn có thể định nghĩa theo nhiều cách rất khác nhau về hình thức. Trong bài này, chúng tôi
trình bày khái niệm này trải qua hệ vectơ trực giao. Sau đó thảo luận về một vài cách trình
bày khác.
Từ khóa: phép đổi khác trực giao, khoảng trống Euclide, vectơ trực giao, ma trận trực giao.

1. MỞ ĐẦU
Đã có những cách kiến thiết thiết kế kiến thiết xây dựng khác nhau cho một bài giảng về Đại số tuyến tính.
Chúng ta có thể xuất phát từ khái niệm khoảng trống vectơ và ánh xạ tuyến tính, sau đó
đưa những khái niệm ma trận – định thức vào như một công cụ thống kê giám sát (xem [1, 2]). Theo
cách khác, có thể xây dựng chương trình theo thứ tự ngược lại. Nội dung về ma trận
mang tính kỹ thuật nhiều hơn với nhiều thống kê giám sát sơ cấp, bởi vậy về góc nhìn nào đó nó
không quá lạ lẫm với sinh viên ở học kỳ đầu tiên. Trong khi đó, ánh xạ tuyến tính cùng
với khoảng trống vectơ là một đối tượng toán học hiện đại, được xây dựng theo phương
pháp tiên đề, mô phỏng khoảng trống hình học thông thường. Nó là mới so với sinh viên
về ý tưởng.
Khi nghiên cứu và điều tra và điều tra những ánh xạ tuyến tính người ta đã thay thế chúng bởi những ma trận
thích hợp, điều đó cho phép tất cả tất cả chúng ta giải quyết nhiều bài toán của ánh xạ tuyến tính
thông qua những ma trận. Điều này nhiều lúc tạo nên một hiểu lầm, xem đại số tuyến tính
như một môn học về ma trận cùng với những kỹ thuật tính toán trên chúng.
Đối với một số ít ít ít trường ĐH kỹ thuật việc giảng dạy sâu về kim chỉ nan những không
gian vectơ có thể là điều không cần thiết, tuy nhiên chúng tôi cho rằng một số yếu tố về
cơ sở triết lý của một số thuật toán cần được hiểu rõ.
Điều tiên phong chúng tôi muốn nhắc tới đẳng cấu
Hom (Vn, Vm )  Mn, p ( )

giữa không gian

Mn, p ( ) những ma trận cấp (n,p) trên trường 

với không gian

Hom (Vn, Vm ) của những  -ánh xạ tuyến tính và đẳng cấu
End (Vn )  Mk ( )
giữa đại số những phép biến hóa tuyến tính của khoảng trống tuyến tính Vn với đại số các
ma trận vuông cấp n. Chính đẳng cấu thứ hai này cho ta một lý giải về định nghĩa
phép nhân hai ma trận.
Do những đẳng cấu này ta có thể đồng nhất một ánh xạ tuyến tính với một ma trận,
và xem ma trận như một thể hiện, một phương tiện kỹ thuật để nghiên cứu không gian

vectơ. Trong bài này chúng tôi sẽ nêu một cách trình diễn (xem thêm [2]) cho ý tưởng
này so với hai vấn đề cụ thể:
1. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc và phép chéo hóa ma trận.
2. Đưa đường, mặt bậc hai về dạng chính tắc và phép chéo hóa trực giao.
2. MA TRẬN TRỰC GIAO
Việc tìm những khoảng trống con bất biến qua một phép đổi khác dẫn tới những khái niệm
vectơ riêng, giá trị riêng của phép biến hóa đó. Sau đó, việc tìm những giá trị riêng, vectơ
riêng cuả phép biến hóa f được đưa về tìm nghiệm của phương trình đặc trưng
A  kI  0 và tìm nghiệm của phương trình ma trận A  kI X  0 (mà dạng tường minh
của nó là một hệ phương trình tuyến tính với ma trận những hệ số là A  kI ). Do sự đồng
nhất của f với ma trận A  Af nên ta cũng gọi giá trị riêng, vectơ riêng của f tương ứng
là giá trị riêng, vectơ riêng của A. Cũng có những tài liệu đưa ra định nghĩa giá trị riêng,
vectơ riêng của ma trận một cách độc lập, sau đó định nghĩa những khái niệm này cho f.
Điều đó dường như không logic.
Đối với hai bài toán nêu trên, ta cần thực thi phép đổi biến để đưa một dạng toàn

phương  (x1, x2 ,…, xn ) về dạng chính tắc   (y1, y2 ,…, yn ). Nếu ta xem những biến

x1, x2 ,…, xn là toạ độ của vectơ u trong khoảng trống Euclide theo một cơ sở trực chuẩn
thì phép đổi biến này tương ứng với phép đổi khác tuyến tính f của Vn đưa cơ sở trực
chuẩn (υ) về cơ sở trực chuẩn (ω). Phép đổi khác này sẽ được gọi là phép biến hóa trực
giao, còn ma trận chuyển cơ sở P. (và cũng là cái chéo hóa trực giao của A) sẽ được gọi
là ma trận trực giao. Theo cách hiểu như vậy chúng ta có thể trình diễn về phép biến đổi
trực giao như sau. Cho ma trận A của một phép biến hóa tuyến tính f: Vn → Vn so với cơ
sở (υ): u1, u2, …, un. Chúng ta đã biết rằng, A có thể đưa được về dạng đường chéo khi
và chỉ khi sống sót trong Vn một cơ sở (ω): ω1, ω2, …, ωn, gồm những vectơ riêng của f.
Khi đó
(1)
B  P1 AP
có dạng đường chéo, P. là ma trận chuyển từ cơ sở (υ) thành cơ sở (ω). Hơn nữa, cách
xác định P. là khá đơn giản. Giả sử P. = (pij), thế thì theo định nghĩa
p2 ju2  …  pnjun
j  p1 ju1
nghĩa là cột thứ j của ma trận chéo hóa P. chính là cột những tọa độ của vectơ riêng ω j,
theo cơ sở bắt đầu (υ).
Trong trường hợp Vn là khoảng trống Euclide những vectơ riêng này có thể được
chuẩn hóa. Ta muốn biết khi nào nó là một cơ sở trực chuẩn. Điều đó dẫn tới định nghĩa
sau.
Định nghĩa 2.1. Cho phép đổi khác tuyến tính f: Vn → Vn và A là ma trận của f đối với
cơ sở trực chuẩn (υ) nào đó. Việc tìm một cơ sở trực chuẩn (  ) để ma trận B của f đối
với cơ sở này có dạng chéo được gọi là phép chéo hóa trực giao. Khi đó ta nói rằng ma

trận A chéo hóa trực giao được, còn ma trận P. chuyển từ cơ sở (υ) thành cơ sở (  )
được gọi là cái chéo hóa trực giao.
Tiêu chuẩn chéo hóa một ma trận được làm mạnh lên thành tiêu chuẩn chéo hóa

trực giao trong định lý sau.
Định lý 2.2. Để ma trận A của phép đổi khác f: Vn → Vn chéo hóa trực giao được, cần
và đủ là sống sót một cơ sở trực chuẩn của khoảng trống này gồm những vectơ riêng của f.
Chứng minh. Giả sử ma trận A của phép đổi khác tuyến tính f chéo hóa trực giao được.
Nghĩa là trong Vn có một cơ sở trực chuẩn

e1, e2 ,…, en ( )
mà ma trận B = (bij) của f so với cơ sở đó có dạng đường chéo. Khi đó f(ej) = bjjej,
nghĩa là những ej là những vectơ riêng của f. Ngược lại, nếu khoảng trống Vn có một cơ cở
trực chuẩn (  ) gồm những vectơ riêng của f thì như trong trường hợp chéo hóa ma trận,
ma trận B của f so với cơ sở này có dạng đường chéo.
Do ma trận chéo hóa trực giao P. là một ma trận chuyển cơ sở nên nó thỏa mãn nhu cầu nhu cầu hệ
thức (1). Chúng ta sẽ diễn đạt ma trận chéo hóa trực giao P. trải qua những khái niệm ma
trận trực giao và phép biến hóa trực giao, được trình diễn dưới đây.
Cho khoảng trống Euclide thực n-chiều Vn với một cơ sở trực chuẩn. Khi đó tích vô
hướng được xác lập bởi
u, v   xi yi
k 1

trong đó (x1, x2,…, xn), (y1, y2,…, yn) tương ứng là tọa độ của những vectơ u,v.
Định nghĩa 2.3. [1] Ma trận vuông thực
a11 a12 … a1n 
a
a
… a 

A   21
22
1n 
 M M O M 


a
a
… a 
 n1 n 2
nn 
được gọi là trực giao nếu hệ những vectơ vj (a1j, a2j,…, anj), (j = 1,2,…,n), là trực chuẩn.
Như vậy, nếu ma trận A là trực giao thì tích vô hướng của hai vectơ vi, vj là
n

vi, v j   aki akj
k 1

Bởi vậy, ma trận A = (aij)m×n là trực giao khi và chỉ khi
n
0, i  j
a
a


 ki kj 
(2)
k 1
1, i = j
Mệnh đề 2.4. Ma trận chuyển từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác
là ma trận trực giao.
Chứng minh. Giả sử
u1, u2 ,…,un ()
v1, v2 ,…, vn ( )

là hai cơ sở trực chuẩn của một khoảng trống Euclide và ma trận chuyển từ cơ sở (υ) sang
(ν) là
c11 c12 … c1n 
c
c
… c 
1n 
C   21 22


c
c
… c 
 n1 n 2
nn 
Khi đó
v1  c11u1  c12u2  …  c1nun
v2  c21u1  c22u2  …  c2nun
vn  cn1u1  cn 2u2  …  cnnun
Do hệ (ν) là trực chuẩn nên
vi, vj

0, i  j

1, i = j

Mặt khác

vi, v j   cti ctj
t 1

nên ta được

n

cc 


t 1

ti tj

0, i  j

1, i = j

và do đó C là ma trận trực giao.
Nhận xét. Giả sử A là ma trận chéo hoá trực giao được, với cái chéo hóa trực giao P.
Do ma trận P. chuyển một cơ sở trực chuẩn đến một cơ sở trực chuẩn nên theo Mệnh đề
2.4 nó là ma trận trực giao.
Ma trận chéo hóa trực giao được có thể đặc trưng bởi ma trận trực giao theo định lý sau.
Định lý 2.5. Các điều sau là tương đương:
(a) Ma trận A chéo hóa trực giao được.
(b) Tồn tại ma trận trực giao P. sao cho P−1AP có dạng chéo.
Chứng minh.
(a) ⇒ (b). Giả sử ma trận A chéo hóa trực giao được. Theo phép trực giao hóa
Gram-Schmidt, trong không gian V có một cơ sở trực chuẩn (υ). Tồn tại một phép biến
đổi tuyến tính f nhận A làm ma trận so với cơ sở này. Theo định nghĩa sống sót một cơ sở

trực chuẩn (  ) gồm những vectơ riêng của f, mà ma trận B của f có dạng đường chéo. Gọi
P là ma trận chuyển từ cơ sở (υ) đến cơ sở (  ), thế thì P−1AP = B, theo Mệnh đề 2.4, P
là ma trận trực giao.
(b) ⇒ (a). Giả sử có ma trận trực giao P. sao cho B = P−1A P. có dạng đường chéo. Khi
đó P. xác lập họ những vectơ

e1, e2 ,…, en ( )
trong đó tọa độ của ej sắp xếp thành cột thứ j của P. Họ này lập thành một cơ sở trực
chuẩn. Và bởi vậy ma trận A trực giao hóa được.
Ma trận trực giao có một số đặc thù đáng quan tâm sau.
Mệnh đề 2.6. Ma trận vuông P. là trực giao khi và chỉ khi PτP = I, trong đó Pτ là ma
trận chuyển vị của P. và I là ma trận đơn vị cùng cấp với P.
Chứng minh. Giả P. = (pij) và Pτ = (p,ij) là chuyển vị của nó. Ta đặt C = PτP = (cij).
Theo quy tắc nhân ma trận ta có
cij   pit ptj   pti ptj
t 1

t 1

τ

Do đó P P = C = I khi và chỉ khi
n
0, i  j
cij  pti ptj 
t 1
1, i = j

nghĩa là khi P trực giao.

Từ Mệnh đề 4. lập tức suy ra điều sau.
Hệ quả 2.7. Cần và đủ để ma trận P trực giao là Pτ = P−1.
Mệnh đề 2.8. Ma trận chéo hóa trực giao được là đối xứng.
Chứng minh. Giả sử ma trận P là trực giao và B = P−1AP có dạng chéo. Khi đó theo Hệ
quả 5 ta có
A = PBP−1 = PBPτ
Từ đó
Aτ = (PBPτ)τ = PBτPτ = PBPτ = A,
nghĩa là ma trận A đối xứng.
3. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
Định nghĩa 3.1. Phép biến hóa tuyến tính của một không gian Euclide được gọi là trực
giao nếu trong một cơ sở trực chuẩn nào đó ma trận của nó là trực giao.
Định lý 3.2. Một phép đổi khác tuyến tính của không gian Euclide là trực giao khi và
chỉ khi nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử f: Vn → Vn là một phép đổi khác trực giao của không
gian Euclide Vn và nó có ma trận A = (aij) đối với cơ sở trực chuẩn
u1, u2 ,…, un  
Khi đó những tọa độ của vectơ ej = f(uj), j = 1,2,…,n, sắp xếp thành cột thứ j của ma trận A.
Bởi vì ma trận A là trực giao nên
0, i  j
ei, e j 
1, i = j
Do đó hệ vectơ

e1, e2 ,…, en
lập thành một cơ sở trực chuẩn.

( )

Điều kiện đủ. Giả sử phép đổi khác f biến cơ sở trực chuẩn (υ) thành cơ cở trực
chuẩn (  ). Khi đó ma trận A của phép biến hóa f đối với cơ sở (υ) chính là ma trận
chuyển cơ sở (υ) thành cơ sở (  ). Do đó ma trận A là trực giao (Mệnh đề 2.), suy ra f là
phép biến hóa trực giao.
Mệnh đề 3.3. Phép đổi khác trực giao không làm biến hóa tích vô hướng.
Chứng minh. Giả sử không gian E có cơ sở trực chuẩn e1, e2,…, en và
u  x1e1  x2e2  … xnen
v  y1e1  y2e2  …  ynen
là hai vectơ tùy ý trong E. Khi đó
u, v  x1 y1  x2 y2  …  xn yn
Nếu f là một phép đổi khác thì
f u   x1 f  e1   x2 f  e2   …  xn f en 
f  v   y1 f  e1   y2 f  e2   …  yn f  en 

Do f là phép biến hóa trực giao nên theo Định lý 7. thì hệ f(ei), i = 1, 2,…, n, là cơ sở trực
chuẩn. Bởi vậy, lại theo (7.1) ta có
x2 y2  …
xn yn 
f u, f v  x1 y1
Nghĩa là f (u), f(v)  u, v .
Hệ quả 3.4. Phép biển đổi trực giao không làm thay đổi độ dài của vectơ và không làm
thay đổi góc giữa hai vectơ.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc dựa
vào phép đổi khác trực giao. Phương pháp này sẽ còn được ứng dụng để nhận dạng các
đường, mặt bậc hai. Trước hết ta có:
Mệnh đề 3.5. Nếu dạng toàn phương   x1, x2 ,…xn  với ma trận A đưa được về dạng
chính tắc    y, y ,… y



n

k y2 thì:

i) Các số thực ki là những giá trị riêng của ma trận A,
ii) Các biến x1, x2,… xn được đưa về các biến y1, y2,…yn nhờ phép đổi khác trực
giao P mà cột thứ i của nó là vectơ riêng – cột của ma trận A ứng với ki.
Chứng minh. Giả sử dạng toàn phương

 (x1, x 2 ,…, x n )   aij xi x j
i1 j 1

đưa được về dạng chính tắc

   y, y ,…, y   k y 2  k y 2  …  k y 2
1

2

n

1 1

2

2

n

n

nhờ phép biến đổi trực giao f có ma trận P, nghĩa là P là ma trận chuyển cơ sở ban đầu
u1,u2,…,un thành cơ sở mới e1, e2, … ,en, với ei = f(ui). Gọi X, Y lần lượt là các ma trận
cột

 x1 
 y1 
x 
 
X   2 , Y   2y
… 
… 
 
 
x
y
 n
 n 


Thế thì X = PY, do đó

 x, x2 ,…, x   X  AX  PY

 A  PY   Y  P APY

   y, y2 ,…, y .

Điều này có nghĩa là dạng  (y1, y2 ,…, yn ) có ma trận
0 
k1 0

0
k
2


B  P AP  
0 

0 0 0 kn 


τ
−1
Bởi vì P là ma trận trực giao nên P = P và vì vậy
B = P−1AP.
Từ đó, theo tác dụng về chéo hóa trực giao ma trận suy ra điều cần chứng minh.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng, với mỗi dạng toàn phương sẽ tìm được một phép
biến đổi trực giao đưa nó về dạng chính tắc.
Định lý 3.6. Đối với mỗi dạng toàn phương đều sống sót phép biến đổi trực giao đưa nó
về dạng chính tắc.
Chứng minh. Trường hợp (x )  a x2 thì phép biến đổi phải tìm là phép đồng nhất.
Giả sử mệnh đề đúng với mọi dạng (x1, x2 ,…, xn ), s  n .
Giả sử dạng toàn phương (x1, x2 ,…, xn ) có ma trận A = (aij)n×n, với k là một giá trị
riêng và
c11 
 

C1  … 
 
cn1 
là vectơ riêng – cột của A ứng với k. Dựng ma trận trực giao C = (cij) mà cột thứ nhất là
cột C1. Bây giờ xét dạng toàn phương  (y1, y2 ,…, yn ) nhận được từ phép biến đổi
X = CY.
Ma trận B của  (y1, y2 ,…, y n ) có dạng
B = CτAC.
Các phần tử của dòng thứ nhất của ma trận CTA là
d1j = c11a1j + c21a2j + … + cn1anj.
Bởi vì C1 là vectơ riêng – cột của A ứng với giá trị riêng k và A là ma trận đối xứng nên
c11a1j + c21a2j + … + cn1anj = kcj1,
do đó d1j = kcj1 (j = 1,2,…,n). Tiếp theo ta tính dòng thứ nhất của ma trận B = (CτA)C:
b1j = kc11c1j + kc21c2j + … + kcn1cnj.

Bởi vì C là trực giao nên
k, j =1
b1j  
0, j  1
Ma trận B đối xứng nên nó có dạng

0
k
0 b22
B 


0 bn2

0 
b2n


bnn 

Khi đó    y1, y2 ,…, yn  có thể viết dưới dạng

   y, y ,…, y   ky 2     y ,…, y  .
1

2

n

1

2

n

Theo giả thiết quy nạp dạng    y2 ,…, yn  đưa về được dạng chính tắc
k z2  …  k z2
2 2

nn

nhờ phép biến đổi trực giao
p2n yn
z2  p22 y2  p23 y3 
···
···
pnn yn.
pn3 y3
zn  pn2 y2

···
Ghép thêm vào phép biến đổi trên z1 = y1 ta được phép biến đổi trực giao đưa
   y1, y2 ,…, yn  về dạng chính tắc.
Hệ quả 3.7. Mọi ma trận thực đối xứng đều đưa được về dạng đường chéo.
Chứng minh. Giả sử A là ma trận thực đối xứng bậc n. Xét dạng toàn phương
(x1, x2 ,…, xn ) với ma trận A. Theo Định lý 2.5, tồn tại phép biến đổi trực giao P để ma
trận B = PτAP có dạng đường chéo. Bởi vì Pτ = P−1, theo Hệ quả 4, nên B = P−1AP. Do
đó, ma trận A đưa được về dạng đường chéo.
Toàn bộ sự xây dựng nêu trên là cơ sở kim chỉ nan cho thuật toán chéo hóa trực giao
một ma trận và tìm phép biến đổi trực giao mà ta nêu dưới đây.
Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian Euclide Vn, và A là ma trận của f
đối với một cơ sở trực chuẩn nào đó. Thực hiện chéo hóa trực giao A và tìm phép biến
đổi trực giao theo các bước sau:
1. Tìm các giá trị riêng của f (hay của ma trận A),
2. Với mỗi giá trị riêng ki (i = 1,2,…,s), tìm một cơ sở trực chuẩn Ui của không
gian con các vectơ riêng ứng với nó. Nếu hợp U của các Ui (i = 1,2,…,s) là một hệ trực
giao của V thì nó là một cơ sở trực chuẩn phải tìm.
3. Ma trận chéo hóa trực giao P được xác định như sau. Nếu cơ sở trực chuẩn xác

định trong bước 2. là U = {ej | j = 1, 2,…, n} thì tọa độ của vectơ ej (đối với cơ sở ban
đầu) được sắp xếp thành cột thứ j của ma trận P.

4. LIÊN HỆ VỚI MỘT VÀI CÁCH TRÌNH BÀY KHÁC
Chúng tôi xin đề cập tới hai tài liệu đã được Nhà xuất bản Giáo dục đào tạo Nước Ta ấn hành.
1. Trong [3] tác giả đã định nghĩa phép biến đổi trực giao trước, sau đó mới định
nghĩa ma trận trực giao.
Định nghĩa 4.1. Phép biến đổi (tự đồng cấu) trực giao của không gian Euclide E là
phép biến đổi bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là f u, f v  u, v .
Sau đó tác giả đã nêu một đặc trưng cho khái niệm này là
Mệnh đề 4.2. Phép biến đổi f của không gian Euclide là trực giao khi và chỉ khi nó biến
cơ sở trực giao thành cơ sở trực giao.
Định nghĩa 4.3. Ma trận A M n (
được gọi là trực giao nếu tự đồng cấu của Rn
được màn biểu diễn bởi A trong cơ sở chính tắc là một tự đồng cấu trực giao của Rn với tích
vô hướng thông thường.
Mệnh đề 4.4. Các điều sau là tương đương:
1. A là ma trận trực giao,
2. AτA = I,
3. Với mọi cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide E, tự đồng cấu của E được
biểu diễn bởi A theo cơ sở trên là trực giao,
4. Các cột của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của không gian với Mn,1 (
tích
vô hướng thông thường.
Chúng ta thấy trong [3] những định nghĩa và đặc thù nêu trên dường như không
liên quan trực tiếp tới phép chéo hóa trực giao và cách xác định cái chéo hóa trực giao
không chú ý quan tâm tới việc tìm các phép biến đổi trực giao để đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc. Theo cách làm của [3] chúng ta không thấy được mối liên hệ với các cơ sở
trực chuẩn cũng như tính ―trực giao‖ của ma trận trực giao, cũng như liên quan tới phép

chéo hóa trực giao.
2. Trong [4] (trang 333), các tác giả định nghĩa ma trận trực giao là ma trận vuông
A thỏa mãn AτA = I, sau đó nói tới chiêu thức biến đổi trực giao.
Định nghĩa 4.5. [4] Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho
P−1AP là ma trận chéo thì nói A là chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo
hóa trực giao ma trận A.
Định lý 4.6. [4] Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa
trực giao được là A có n vectơ riêng trực chuẩn.
Theo cách làm của [4] ta thấy các tác giả đã chọn một đặc trưng của ma trận trực
giao làm định nghĩa. Định nghĩa này đã làm ―ẩn‖ đi những đặc tính trực quan của ma
trận trực giao. Phép định nghĩa ma trận chéo hóa trực giao được cũng không được định
nghĩa trực tiếp mà phải thông qua ma trận trực giao và hệ thức P−1AP. Trong Định lý
5.8.2 [4] các tác giả đã phát biểu rằng điều kiện kèm theo PτP = I là cần để P chuyển một cơ sở
trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, nhưng sau đó trong phép chứng tỏ Định lý 7.4.1
[4] thì đã sử dụng nó như một điều kiện đủ.

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ11

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]

R. F. Aptenok (1971), Cơ sở đại số tuyến tính (nguyên bản tiếng Nga), Minsk.
I. M. Ghenfand (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, (nguyên bản
tiếng Nga, Maxcơva, 1971).
Jean – Marie Monier (1999), Cours de mathématiques 5, Algèbra 1, Dunod, Paris,
1996, Bản dịch tiếng Việt, Nxb Giáo dục.

N. Đ. Trí, T. V. Đĩnh, N. H. Quỳnh (2012), Toán học hạng sang I, Đại số và Hình học
giải tích, Nxb Giáo dục Việt Nam.

DISCUSSION ABOUT ORTHOGONAL
TRANSFORMATION AND ORTHOGONAL MATRIX
TEACHING
Abstract. Orthogonal transformation associates with the straight lines classification and
quadratic surfaces in an Euclidean space problem. There are many typical ways through
matrix or vector space; therefore it can be defined in many different ways and forms. In this
article, the concept of orthogonal transformation through orthogonal vectors is presented
and then discussed from different approaches.
Keywords: orthogonal transformation, Euclidean space, orthogonal vector, orthogonal matrix

10

giữa không gianMn, p ( ) các ma trận cấp (n,p) trên trường với không gianHom (Vn, Vm ) của các  -ánh xạ tuyến tính và đẳng cấuEnd (Vn )  Mk ( )giữa đại số các phép biến đổi tuyến tính của không gian tuyến tính Vn với đại số cácma trận vuông cấp n. Chính đẳng cấu thứ hai này cho ta một giải thích về định nghĩaphép nhân hai ma trận.Do các đẳng cấu này ta có thể đồng nhất một ánh xạ tuyến tính với một ma trận,và xem ma trận như một thể hiện, một phương tiện kỹ thuật để nghiên cứu không gianvectơ. Trong bài này chúng tôi sẽ nêu một cách trình diễn (xem thêm [2]) cho ý tưởngnày đối với hai vấn đề cụ thể:1. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc và phép chéo hóa ma trận.2. Đưa đường, mặt bậc hai về dạng chính tắc và phép chéo hóa trực giao.2. MA TRẬN TRỰC GIAOViệc tìm các không gian con bất biến qua một phép biến đổi dẫn tới các khái niệmvectơ riêng, giá trị riêng của phép biến đổi đó. Sau đó, việc tìm các giá trị riêng, vectơriêng cuả phép biến đổi f được đưa về tìm nghiệm của phương trình đặc trưngA  kI  0 và tìm nghiệm của phương trình ma trận A  kI X  0 (mà dạng tường minhcủa nó là một hệ phương trình tuyến tính với ma trận các hệ số là A  kI ). Do sự đồngnhất của f với ma trận A  Af nên ta cũng gọi giá trị riêng, vectơ riêng của f tương ứnglà giá trị riêng, vectơ riêng của A. Cũng có những tài liệu đưa ra định nghĩa giá trị riêng,vectơ riêng của ma trận một cách độc lập, sau đó định nghĩa các khái niệm này cho f.Điều đó dường như không logic.Đối với hai bài toán nêu trên, ta cần thực hiện phép đổi biến để đưa một dạng toànphương  (x1, x2 ,…, xn ) về dạng chính tắc   (y1, y2 ,…, yn ). Nếu ta xem các biếnx1, x2 ,…, xn là toạ độ của vectơ u trong không gian Euclide theo một cơ sở trực chuẩnthì phép đổi biến này tương ứng với phép biến đổi tuyến tính f của Vn đưa cơ sở trựcchuẩn (υ) về cơ sở trực chuẩn (ω). Phép biến đổi này sẽ được gọi là phép biến đổi trựcgiao, còn ma trận chuyển cơ sở P (và cũng là cái chéo hóa trực giao của A) sẽ được gọilà ma trận trực giao. Theo cách hiểu như vậy chúng ta có thể trình bày về phép biến đổitrực giao như sau. Cho ma trận A của một phép biến đổi tuyến tính f: Vn → Vn đối với cơsở (υ): u1, u2, …, un. Chúng ta đã biết rằng, A có thể đưa được về dạng đường chéo khivà chỉ khi tồn tại trong Vn một cơ sở (ω): ω1, ω2, …, ωn, gồm những vectơ riêng của f.Khi đó(1)B  P1 APcó dạng đường chéo, P là ma trận chuyển từ cơ sở (υ) thành cơ sở (ω). Hơn nữa, cáchxác định P là khá đơn giản. Giả sử P = (pij), thế thì theo định nghĩap2 ju2  …  pnjunj  p1 ju1nghĩa là cột thứ j của ma trận chéo hóa P chính là cột các tọa độ của vectơ riêng ω j,theo cơ sở ban đầu (υ).Trong trường hợp Vn là không gian Euclide những vectơ riêng này có thể đượcchuẩn hóa. Ta muốn biết khi nào nó là một cơ sở trực chuẩn. Điều đó dẫn tới định nghĩasau.Định nghĩa 2.1. Cho phép biến đổi tuyến tính f: Vn → Vn và A là ma trận của f đối vớicơ sở trực chuẩn (υ) nào đó. Việc tìm một cơ sở trực chuẩn (  ) để ma trận B của f đốivới cơ sở này có dạng chéo được gọi là phép chéo hóa trực giao. Khi đó ta nói rằng matrận A chéo hóa trực giao được, còn ma trận P chuyển từ cơ sở (υ) thành cơ sở (  )được gọi là cái chéo hóa trực giao.Tiêu chuẩn chéo hóa một ma trận được làm mạnh lên thành tiêu chuẩn chéo hóatrực giao trong định lý sau.Định lý 2.2. Để ma trận A của phép biến đổi f: Vn → Vn chéo hóa trực giao được, cầnvà đủ là tồn tại một cơ sở trực chuẩn của không gian này gồm những vectơ riêng của f.Chứng minh. Giả sử ma trận A của phép biến đổi tuyến tính f chéo hóa trực giao được.Nghĩa là trong Vn có một cơ sở trực chuẩne1, e2 ,…, en ( )mà ma trận B = (bij) của f đối với cơ sở đó có dạng đường chéo. Khi đó f(ej) = bjjej,nghĩa là các ej là những vectơ riêng của f. Ngược lại, nếu không gian Vn có một cơ cởtrực chuẩn (  ) gồm những vectơ riêng của f thì như trong trường hợp chéo hóa ma trận,ma trận B của f đối với cơ sở này có dạng đường chéo.Do ma trận chéo hóa trực giao P là một ma trận chuyển cơ sở nên nó thỏa mãn hệthức (1). Chúng ta sẽ mô tả ma trận chéo hóa trực giao P thông qua các khái niệm matrận trực giao và phép biến đổi trực giao, được trình bày dưới đây.Cho không gian Euclide thực n-chiều Vn với một cơ sở trực chuẩn. Khi đó tích vôhướng được xác định bởiu, v   xi yik 1trong đó (x1, x2,…, xn), (y1, y2,…, yn) tương ứng là tọa độ của các vectơ u,v.Định nghĩa 2.3. [1] Ma trận vuông thựca11 a12 … a1n … a A   21221n  M M O M … a  n1 n 2nn được gọi là trực giao nếu hệ các vectơ vj (a1j, a2j,…, anj), (j = 1,2,…,n), là trực chuẩn.Như vậy, nếu ma trận A là trực giao thì tích vô hướng của hai vectơ vi, vj làvi, v j   aki akjk 1Bởi vậy, ma trận A = (aij)m×n là trực giao khi và chỉ khi0, i  j ki kj (2)k 11, i = jMệnh đề 2.4. Ma trận chuyển từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn kháclà ma trận trực giao.Chứng minh. Giả sửu1, u2 ,…,un ()v1, v2 ,…, vn ( )là hai cơ sở trực chuẩn của một không gian Euclide và ma trận chuyển từ cơ sở (υ) sang(ν) làc11 c12 … c1n … c 1n C   21 22… c  n1 n 2nn Khi đóv1  c11u1  c12u2  …  c1nunv2  c21u1  c22u2  …  c2nunvn  cn1u1  cn 2u2  …  cnnunDo hệ (ν) là trực chuẩn nênvi, vj0, i  j1, i = jMặt khácvi, v j   cti ctjt 1nên ta đượccc t 1ti tj0, i  j1, i = jvà do đó C là ma trận trực giao.Nhận xét. Giả sử A là ma trận chéo hoá trực giao được, với cái chéo hóa trực giao P.Do ma trận P chuyển một cơ sở trực chuẩn đến một cơ sở trực chuẩn nên theo Mệnh đề2.4 nó là ma trận trực giao.Ma trận chéo hóa trực giao được có thể đặc trưng bởi ma trận trực giao theo định lý sau.Định lý 2.5. Các điều sau là tương đương:(a) Ma trận A chéo hóa trực giao được.(b) Tồn tại ma trận trực giao P sao cho P−1AP có dạng chéo.Chứng minh.(a) ⇒ (b). Giả sử ma trận A chéo hóa trực giao được. Theo phép trực giao hóaGram-Schmidt, trong không gian V có một cơ sở trực chuẩn (υ). Tồn tại một phép biếnđổi tuyến tính f nhận A làm ma trận đối với cơ sở này. Theo định nghĩa tồn tại một cơ sởtrực chuẩn (  ) gồm các vectơ riêng của f, mà ma trận B của f có dạng đường chéo. GọiP là ma trận chuyển từ cơ sở (υ) đến cơ sở (  ), thế thì P−1AP = B, theo Mệnh đề 2.4, Plà ma trận trực giao.(b) ⇒ (a). Giả sử có ma trận trực giao P sao cho B = P−1A P có dạng đường chéo. Khiđó P xác định họ các vectơe1, e2 ,…, en ( )trong đó tọa độ của ej sắp xếp thành cột thứ j của P. Họ này lập thành một cơ sở trựcchuẩn. Và bởi vậy ma trận A trực giao hóa được.Ma trận trực giao có một số tính chất đáng lưu ý sau.Mệnh đề 2.6. Ma trận vuông P là trực giao khi và chỉ khi PτP = I, trong đó Pτ là matrận chuyển vị của P và I là ma trận đơn vị cùng cấp với P.Chứng minh. Giả P = (pij) và Pτ = (p,ij) là chuyển vị của nó. Ta đặt C = PτP = (cij).Theo quy tắc nhân ma trận ta cócij   pit ptj   pti ptjt 1t 1Do đó P P = C = I khi và chỉ khi0, i  jcij  pti ptj t 11, i = jnghĩa là khi P trực giao.Từ Mệnh đề 4. lập tức suy ra điều sau.Hệ quả 2.7. Cần và đủ để ma trận P trực giao là Pτ = P−1.Mệnh đề 2.8. Ma trận chéo hóa trực giao được là đối xứng.Chứng minh. Giả sử ma trận P là trực giao và B = P−1AP có dạng chéo. Khi đó theo Hệquả 5 ta cóA = PBP−1 = PBPτTừ đóAτ = (PBPτ)τ = PBτPτ = PBPτ = A,nghĩa là ma trận A đối xứng.3. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAOĐịnh nghĩa 3.1. Phép biến đổi tuyến tính của một không gian Euclide được gọi là trựcgiao nếu trong một cơ sở trực chuẩn nào đó ma trận của nó là trực giao.Định lý 3.2. Một phép biến đổi tuyến tính của không gian Euclide là trực giao khi vàchỉ khi nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn.Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử f: Vn → Vn là một phép biến đổi trực giao của khônggian Euclide Vn và nó có ma trận A = (aij) đối với cơ sở trực chuẩnu1, u2 ,…, un  Khi đó các tọa độ của vectơ ej = f(uj), j = 1,2,…,n, sắp xếp thành cột thứ j của ma trận A.Bởi vì ma trận A là trực giao nên0, i  jei, e j 1, i = jDo đó hệ vectơe1, e2 ,…, enlập thành một cơ sở trực chuẩn.( )Điều kiện đủ. Giả sử phép biến đổi f biến cơ sở trực chuẩn (υ) thành cơ cở trựcchuẩn (  ). Khi đó ma trận A của phép biến đổi f đối với cơ sở (υ) chính là ma trậnchuyển cơ sở (υ) thành cơ sở (  ). Do đó ma trận A là trực giao (Mệnh đề 2.), suy ra f làphép biến đổi trực giao.Mệnh đề 3.3. Phép biến đổi trực giao không làm thay đổi tích vô hướng.Chứng minh. Giả sử không gian E có cơ sở trực chuẩn e1, e2,…, en vàu  x1e1  x2e2  … xnenv  y1e1  y2e2  …  ynenlà hai vectơ tùy ý trong E. Khi đóu, v  x1 y1  x2 y2  …  xn ynNếu f là một phép biến đổi thìf u   x1 f  e1   x2 f  e2   …  xn f en f  v   y1 f  e1   y2 f  e2   …  yn f  en Do f là phép biến đổi trực giao nên theo Định lý 7. thì hệ f(ei), i = 1, 2,…, n, là cơ sở trựcchuẩn. Bởi vậy, lại theo (7.1) ta cóx2 y2  …xn yn f u, f v  x1 y1Nghĩa là f (u), f(v)  u, v .Hệ quả 3.4. Phép biển đổi trực giao không làm thay đổi độ dài của vectơ và không làmthay đổi góc giữa hai vectơ.Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc dựavào phép biến đổi trực giao. Phương pháp này sẽ còn được ứng dụng để nhận dạng cácđường, mặt bậc hai. Trước hết ta có:Mệnh đề 3.5. Nếu dạng toàn phương   x1, x2 ,…xn  với ma trận A đưa được về dạngchính tắc    y, y ,… yk y2 thì:i) Các số thực ki là các giá trị riêng của ma trận A,ii) Các biến x1, x2,… xn được đưa về các biến y1, y2,…yn nhờ phép biến đổi trựcgiao P mà cột thứ i của nó là vectơ riêng – cột của ma trận A ứng với ki.Chứng minh. Giả sử dạng toàn phương (x1, x 2 ,…, x n )   aij xi x ji1 j 1đưa được về dạng chính tắc   y, y ,…, y   k y 2  k y 2  …  k y 21 1nhờ phép biến đổi trực giao f có ma trận P, nghĩa là P là ma trận chuyển cơ sở ban đầuu1,u2,…,un thành cơ sở mới e1, e2, … ,en, với ei = f(ui). Gọi X, Y lần lượt là các ma trậncột x1  y1 x  X   2 , Y   2y… …    n n Thế thì X = PY, do đó x, x2 ,…, x   X  AX  PY A  PY   Y  P APY   y, y2 ,…, y .Điều này có nghĩa là dạng  (y1, y2 ,…, yn ) có ma trận0 k1 0B  P AP  0 0 0 0 kn −1Bởi vì P là ma trận trực giao nên P = P và vì vậyB = P−1AP.Từ đó, theo kết quả về chéo hóa trực giao ma trận suy ra điều cần chứng minh.Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng, với mỗi dạng toàn phương sẽ tìm được một phépbiến đổi trực giao đưa nó về dạng chính tắc.Định lý 3.6. Đối với mỗi dạng toàn phương đều tồn tại phép biến đổi trực giao đưa nóvề dạng chính tắc.Chứng minh. Trường hợp (x )  a x2 thì phép biến đổi phải tìm là phép đồng nhất.Giả sử mệnh đề đúng với mọi dạng (x1, x2 ,…, xn ), s  n .Giả sử dạng toàn phương (x1, x2 ,…, xn ) có ma trận A = (aij)n×n, với k là một giá trịriêng vàc11  C1  …  cn1 là vectơ riêng – cột của A ứng với k. Dựng ma trận trực giao C = (cij) mà cột thứ nhất làcột C1. Bây giờ xét dạng toàn phương  (y1, y2 ,…, yn ) nhận được từ phép biến đổiX = CY.Ma trận B của  (y1, y2 ,…, y n ) có dạngB = CτAC.Các phần tử của dòng thứ nhất của ma trận CTA làd1j = c11a1j + c21a2j + … + cn1anj.Bởi vì C1 là vectơ riêng – cột của A ứng với giá trị riêng k và A là ma trận đối xứng nênc11a1j + c21a2j + … + cn1anj = kcj1,do đó d1j = kcj1 (j = 1,2,…,n). Tiếp theo ta tính dòng thứ nhất của ma trận B = (CτA)C:b1j = kc11c1j + kc21c2j + … + kcn1cnj.Bởi vì C là trực giao nênk, j =1b1j  0, j  1Ma trận B đối xứng nên nó có dạngk0 b22B 0 bn20 b2nbnn Khi đó    y1, y2 ,…, yn  có thể viết dưới dạng   y, y ,…, y   ky 2     y ,…, y  .Theo giả thiết quy nạp dạng    y2 ,…, yn  đưa về được dạng chính tắck z2  …  k z22 2nnnhờ phép biến đổi trực giaop2n ynz2  p22 y2  p23 y3 ······pnn yn.pn3 y3zn  pn2 y2···Ghép thêm vào phép biến đổi trên z1 = y1 ta được phép biến đổi trực giao đưa   y1, y2 ,…, yn  về dạng chính tắc.Hệ quả 3.7. Mọi ma trận thực đối xứng đều đưa được về dạng đường chéo.Chứng minh. Giả sử A là ma trận thực đối xứng bậc n. Xét dạng toàn phương(x1, x2 ,…, xn ) với ma trận A. Theo Định lý 2.5, tồn tại phép biến đổi trực giao P để matrận B = PτAP có dạng đường chéo. Bởi vì Pτ = P−1, theo Hệ quả 4, nên B = P−1AP. Dođó, ma trận A đưa được về dạng đường chéo.Toàn bộ sự xây dựng nêu trên là cơ sở lý thuyết cho thuật toán chéo hóa trực giaomột ma trận và tìm phép biến đổi trực giao mà ta nêu dưới đây.Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian Euclide Vn, và A là ma trận của fđối với một cơ sở trực chuẩn nào đó. Thực hiện chéo hóa trực giao A và tìm phép biếnđổi trực giao theo các bước sau:1. Tìm các giá trị riêng của f (hay của ma trận A),2. Với mỗi giá trị riêng ki (i = 1,2,…,s), tìm một cơ sở trực chuẩn Ui của khônggian con các vectơ riêng ứng với nó. Nếu hợp U của các Ui (i = 1,2,…,s) là một hệ trựcgiao của V thì nó là một cơ sở trực chuẩn phải tìm.3. Ma trận chéo hóa trực giao P được xác định như sau. Nếu cơ sở trực chuẩn xácđịnh trong bước 2. là U = {ej | j = 1, 2,…, n} thì tọa độ của vectơ ej (đối với cơ sở banđầu) được sắp xếp thành cột thứ j của ma trận P.4. LIÊN HỆ VỚI MỘT VÀI CÁCH TRÌNH BÀY KHÁCChúng tôi xin đề cập tới hai tài liệu đã được Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam ấn hành.1. Trong [3] tác giả đã định nghĩa phép biến đổi trực giao trước, sau đó mới địnhnghĩa ma trận trực giao.Định nghĩa 4.1. Phép biến đổi (tự đồng cấu) trực giao của không gian Euclide E làphép biến đổi bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là f u, f v  u, v .Sau đó tác giả đã nêu một đặc trưng cho khái niệm này làMệnh đề 4.2. Phép biến đổi f của không gian Euclide là trực giao khi và chỉ khi nó biếncơ sở trực giao thành cơ sở trực giao.Định nghĩa 4.3. Ma trận A M n (được gọi là trực giao nếu tự đồng cấu của Rnđược biểu diễn bởi A trong cơ sở chính tắc là một tự đồng cấu trực giao của Rn với tíchvô hướng thông thường.Mệnh đề 4.4. Các điều sau là tương đương:1. A là ma trận trực giao,2. AτA = I,3. Với mọi cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide E, tự đồng cấu của E đượcbiểu diễn bởi A theo cơ sở trên là trực giao,4. Các cột của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của không gian với Mn,1 (tíchvô hướng thông thường.Chúng ta thấy trong [3] những định nghĩa và tính chất nêu trên dường như khôngliên quan trực tiếp tới phép chéo hóa trực giao và cách xác định cái chéo hóa trực giaokhông chú ý tới việc tìm các phép biến đổi trực giao để đưa dạng toàn phương về dạngchính tắc. Theo cách làm của [3] chúng ta không thấy được mối liên hệ với các cơ sởtrực chuẩn cũng như tính ―trực giao‖ của ma trận trực giao, cũng như liên quan tới phépchéo hóa trực giao.2. Trong [4] (trang 333), các tác giả định nghĩa ma trận trực giao là ma trận vuôngA thỏa mãn AτA = I, sau đó nói tới giải pháp biến đổi trực giao.Định nghĩa 4.5. [4] Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao choP−1AP là ma trận chéo thì nói A là chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéohóa trực giao ma trận A.Định lý 4.6. [4] Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóatrực giao được là A có n vectơ riêng trực chuẩn.Theo cách làm của [4] ta thấy các tác giả đã chọn một đặc trưng của ma trận trựcgiao làm định nghĩa. Định nghĩa này đã làm ―ẩn‖ đi những đặc tính trực quan của matrận trực giao. Phép định nghĩa ma trận chéo hóa trực giao được cũng không được địnhnghĩa trực tiếp mà phải thông qua ma trận trực giao và hệ thức P−1AP. Trong Định lý5.8.2 [4] các tác giả đã phát biểu rằng điều kiện PτP = I là cần để P chuyển một cơ sởtrực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, nhưng sau đó trong phép chứng minh Định lý 7.4.1[4] thì đã sử dụng nó như một điều kiện đủ.TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ11TÀI LIỆU THAM KHẢO[1][2][3][4]R. F. Aptenok (1971), Cơ sở đại số tuyến tính (nguyên bản tiếng Nga), Minsk.I. M. Ghenfand (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, (nguyên bảntiếng Nga, Maxcơva, 1971).Jean – Marie Monier (1999), Cours de mathématiques 5, Algèbra 1, Dunod, Paris,1996, Bản dịch tiếng Việt, Nxb Giáo dục.N. Đ. Trí, T. V. Đĩnh, N. H. Quỳnh (2012), Toán học cao cấp I, Đại số và Hình họcgiải tích, Nxb Giáo dục Việt Nam.DISCUSSION ABOUT ORTHOGONALTRANSFORMATION AND ORTHOGONAL MATRIXTEACHINGAbstract. Orthogonal transformation associates with the straight lines classification andquadratic surfaces in an Euclidean space problem. There are many typical ways throughmatrix or vector space; therefore it can be defined in many different ways and forms. In thisarticle, the concept of orthogonal transformation through orthogonal vectors is presentedand then discussed from different approaches.Keywords: orthogonal transformation, Euclidean space, orthogonal vector, orthogonal matrix10

Viết một bình luận