Ma trận trực giao là gì

Bạn đang quan tâm đến Ma trận trực giao là gì phải không? Nào hãy cùng SAIGONCANTHO theo dõi bài viết này ngay sau đây nhé, vì nó vô cùng mê hoặc và hay đấy!

A.

Mỗi thành phần của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 màn màn màn màn màn màn màn trình diễn thành phần ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trận

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật—các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột—mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là những thành phần hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}

Khi những ma trận có cùng kích thước (chúng có cùng số hàng và cùng số cột), thì hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn có thể triển khai phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên những phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc vận dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn những biến hóa tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x. Ví dụ, phép quay những vectơ trong khoảng chừng trống ba chiều là một phép biến hóa tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến hóa là một ma trận biểu diễn hợp của hai phép biến hóa tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của những hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, có thể thu được 1 số ít đặc thù của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Quan niệm hình học của một phép biến hóa tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy ứng dụng của triết lý ma trận trong hầu hết những nghành khoa học. Trong mỗi nhánh của vật lý học, bao gồm cơ học cổ điển, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để điều tra và điều tra và nghiên cứu những hiện tượng kỳ lạ vật lý, như hoạt động của vật rắn. Trong đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình hiển thị 2 chiều. Trong kim chỉ nan Tỷ Lệ và thống kê, những ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp những xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán PageRank để xếp hạng những trang trong lệnh tìm kiếm của Google. Phép tính ma trận tổng quát hóa những khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ so với số chiều lớn hơn.

Một nhánh chính của giải tích số dành để tăng trưởng những thuật toán hữu hiệu cho những thống kê giám sát ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một nghành nghiên cứu rộng ngày nay. Phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa những thống kê giám sát cả về mặt kim chỉ nan lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của những ma trận đặc biệt, như ma trận thưa (sparse) và ma trận gần chéo, giúp xử lý những giám sát trong giải pháp phần tử hữu hạn và những tính toán khác. Ma trận vô hạn Open trong cơ học thiên thể và kim chỉ nan nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn những toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

Định nghĩa

Ma trận là một mảng chữ nhật chứa những số hoặc những đối tượng người tiêu dùng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên những ma trận. Hay gặp nhất đó là ma trận trên một trường F là một mảng chữ nhật chứa những đại lượng vô hướng của F. Bài viết này đề cập đến những ma trận thực và phức, tức là những ma trận mà những phần tử của nó là những số thực hoặc số phức. Những loại ma trận tổng quát hơn được luận bàn ở bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,620,4&5,59,7&-6,2end}.}

Các số, ký hiệu hay biểu thức trong ma trận được gọi là những phần tử của nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa những phần tử trong ma trận được gọi tương ứng là hàng và cột.

Độ lớn

Độ lớn hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột mà ma trận có. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, và những ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên gọi Độ lớn Ví dụ Miêu tả Vectơ hàng 1 × n 3&7&2end}}

Ma trận có một cột, đôi lúc được dùng để biểu diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}

Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phép biến hóa tuyến tính từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt.

Lịch sử

Ma trận có một lịch sử dài về ứng dụng trong giải các phương trình tuyến tính nhưng chúng được biết đến là các mảng cho tới tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính, bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học người Ý Girolamo Cardano giới thiệu giải pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển Ars Magna. Nhà toán học Nhật Bản Seki đã sử dụng chiêu thức mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683. Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần tiên phong biểu diễn các đổi khác dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).

Xem thêm: 2002 Là Tuổi Gì ? Xem Tử Vi Tuổi Nhâm Ngọ Nữ Mạng Hợp Tuổi Nào

Giữa các năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin hay tìm nghiệm và nghiên cứu trên 50 loại ma trận khác nhau. Cramer đưa ra quy tắc của ông vào năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất từ mater—mẹ) do James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850, khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngày này gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận khởi đầu bằng cách xóa đi các hàng và các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về “Ma trận” là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, mà những định thức khác nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.

Arthur Cayley đăng một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phép biến đổi quay đã được khảo sát trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia những ma trận này và chứng tỏ các quy tắc phối hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã nghiên cứu và dẫn chứng tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận. Lý thuyết ma trận sơ khai bị số lượng giới hạn ở cách sử dụng các mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm nên cuộc cách mạng cho lý thuyết này. Ông vận dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận trong đó ông nêu ra và chứng tỏ định lý Cayley-Hamilton.

Nhà toán học người Anh Cullis là người tiên phong sử dụng ký hiệu ngoặc tân tiến cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = để biểu diễn một ma trận với ai,j là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j.

Xem thêm: Directly ? What Is Another Word For Directly

Quá trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau. Các bài toán số học dẫn Gauss đi tới liên hệ các hệ số của dạng toàn phương, những đa thức có dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ tuyến tính trong không gian ba chiều với ma trận. Eisenstein đã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là người tiên phong chứng minh những mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy thừa ajk bằng ajk trong đa thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông:

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}

Chuyên mục: Tin Tức

Viết một bình luận