Trực giao – Wikipedia tiếng Việt

Các đoạn thẳng AB và CD trực giao với nhau.

Trong toán học, trực giao là tổng quát hóa của khái niệm tính vuông góc trong lĩnh vực đại số tuyến tính về những dạng song tuyến tính. Hai phần tử uv của một khoảng trống vectơ với dạng song tuyến tính Btrực giao nếu B(u, v) = 0. Tùy vào dạng song tuyến tính, khoảng trống vectơ hoàn toàn hoàn toàn hoàn toàn có thể có vectơ khác không trực giao với chính nó. Trong trường hợp khoảng trống hàm, họ những hàm trực giao được sử dụng để tạo ra cơ sở.

Mở rộng ra, khái niệm trực giao còn được dùng để chỉ sự tách biệt giữa những chức năng nhất định trong một hệ thống. Thuật ngữ cũng có ý nghĩa chuyên biệt trong nhiều ngành khác bao gồm nghệ thuật và hóa học.

Toán học và vật lý

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các định nghĩa

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một tập hợp những vectơ trong một khoảng trống tích trong được gọi là trực giao theo cặp nếu từng cặp vectơ là trực giao. Một tập như vậy gọi là tập trực giao.

Một khoảng trống vectơ với một dạng song tuyến tính khái quát hóa trường hợp khoảng trống tích trong. Khi dạng song tuyến tính áp dụng lên hai vectơ có tác dụng bằng 0 thì chúng trực giao. Trường hợp với một mặt phẳng giả Euclid, khái niệm trực giao hypebol. Trong sơ đồ trên, những trục x′ and t′ trực giao hypebol với mọi ϕ cho trước.

Không gian vectơ Euclid

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong khoảng trống Euclid, hai vectơ trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là chúng tạo thành một góc 90° (π/2 radian), hay khi một trong hai vectơ không.[4] Vì vậy sự trực giao của những vectơ là sự lan rộng ra khái niệm tính vuông góc cho khoảng trống với chiều bất kỳ.

Phần bù trực giao của một khoảng trống con là khoảng trống bao gồm những vectơ trực giao với mỗi vectơ trong khoảng trống con đó. Trong một không gian vectơ Euclid ba chiều, phần bù trực giao của một đường thẳng qua gốc tọa độ là một mặt phẳng qua gốc tọa độ vuông góc với nó, và ngược lại.

Lưu ý rằng khái niệm hai mặt phẳng vuông góc trong hình học không tương ứng với phần bù trực giao, vì trong không gian ba chều một cặp vectơ trong đó mỗi vectơ đến từ một mặt phẳng trong hai mặt phẳng vuông góc, có thể tạo với nhau một góc bất kỳ.

Trong không gian Euclid bốn chiều, phần bù trực giao của một đường thẳng là một siêu phẳng và ngược lại, còn phần bù trực giao của một mặt phẳng cũng là một mặt phẳng.

Ma trận trực giao

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong đại số tuyến tính, một ma trận trực giao, hay ma trận trực chuẩn, là một ma trận vuông thực với những cột và hàng của nó là những vectơ trực chuẩn.

Còn có thể màn biểu diễn điều này như sau

Q

T

Q
=
Q

Q

T

=
I
,

{displaystyle Q^{mathrm {T} }Q=QQ^{mathrm {T} }=I,}

{displaystyle Q^{mathrm {T} }Q=QQ^{mathrm {T} }=I,}

với

Q

T

{displaystyle Q^{mathrm {T} }}

{displaystyle Q^{mathrm {T} }} là chuyển vị của Q. và

I

{displaystyle I}

I là ma trận đơn vị.

Điều này dẫn đến đặc điểm sau: một ma trận Q. là trực giao nếu chuyển vị của nó chính là nghịch đảo của nó:

Q

T

=

Q


1

,

{displaystyle Q^{mathrm {T} }=Q^{-1},}

{displaystyle Q^{mathrm {T} }=Q^{-1},}

với

Q


1

{displaystyle Q^{-1}}

{displaystyle Q^{-1}} là nghịch đảo Q.

Một ma trận trực giao Q thì luôn là ma trận khả nghịch (với nghịch đảo Q−1 = QT), unita (Q−1 = Q∗), với Q∗ là phối hợp Hermite (chuyển vị liên hợp) của Q, và thế cho nên cũng là ma trận chuẩn tắc (QQ = QQ∗) với những thông số thực. Định thức của một ma trận trực giao bất kể là +1 hoặc là −1. Dưới dạng đổi khác tuyến tính, một ma trận trực giao bảo toàn tích trong của các vectơ, và thế cho nên là một phép đẳng cự (isometry) trên không gian Euclid, ví dụ như phép quay, phép đối xứng hay đối xứng quay. Nói cách khác nó là một biến hóa unita.

Ví dụ về ma trận trực giao

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • [

    1

    0

    0

    1

    ]

    (

    biến đổi đồng nhất

    )

    {displaystyle {begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad ({text{biến đổi đồng nhất}})}

    {displaystyle {begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad ({text{biến đổi đồng nhất}})}

  • [

    cos

    θ


    sin

    θ

    sin

    θ

    cos

    θ

    ]

    =

    [

    0.96


    0.28

    0.28

    0.96

    ]

    (

    phép quay một góc 

    16.26

    )

    {displaystyle {begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta \end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0.96&-0.28\0.28&;;,0.96\end{bmatrix}}qquad ({text{phép quay một góc }}16.26^{circ })}

    {displaystyle {begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta \end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0.96&-0.28\0.28&;;,0.96\end{bmatrix}}qquad ({text{phép quay một góc }}16.26^{circ })}

  • [

    1

    0

    0


    1

    ]

    (

    phép đối xứng qua trục 

    x

    -axis

    )

    {displaystyle {begin{bmatrix}1&0\0&-1\end{bmatrix}}qquad ({text{phép đối xứng qua trục }}x{text{-axis}})}

    {displaystyle {begin{bmatrix}1&0\0&-1\end{bmatrix}}qquad ({text{phép đối xứng qua trục }}x{text{-axis}})}

  • {displaystyle }

    {displaystyle }

  • [

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    ]

    (

    phép hoán vị các trục tọa độ

    )

    {displaystyle {begin{bmatrix}0&0&0&1\0&0&1&0\1&0&0&0\0&1&0&0end{bmatrix}}qquad ({text{phép hoán vị các trục tọa độ}})}

    {displaystyle {begin{bmatrix}0&0&0&1\0&0&1&0\1&0&0&0\0&1&0&0end{bmatrix}}qquad ({text{phép hoán vị các trục tọa độ}})}

Hàm trực giao

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Sử dụng tích phân, ta có thể sử dụng công thức sau để định nghĩa tích trong của hai hàm fg so với hàm trọng số w trên một đoạn [a, b]:


f
,
g

w

=

a

b

f
(
x
)
g
(
x
)
w
(
x
)

d
x
.

{displaystyle langle f,grangle _{w}=int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x),dx.}

{displaystyle langle f,grangle _{w}=int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x),dx.}

Trong trường hợp đơn giản, w(x) = 1.

Ta nói rằng hai hàm phân biệt fg trực giao nếu tích trong của chúng (tức là giá trị của tích phân xác lập trên) bằng 0:


f
,
g

w

=
0.

{displaystyle langle f,grangle _{w}=0.}

{displaystyle langle f,grangle _{w}=0.}

Sự trực giao của hai hàm số so với một tích trong không dẫn đến sự trực giao so với một tích trong khác.

Ta có thể viết chuẩn so với tích trong này như sau


f

w

=


f
,
f

w

{displaystyle |f|_{w}={sqrt {langle f,frangle _{w}}}}

{displaystyle |f|_{w}={sqrt {langle f,frangle _{w}}}}

Các hàm trong một họ hàm {fi: i = 1, 2, 3,…} trực giao đối với w trên đoạn [a, b] nếu

f

i

,

f

j

w

=
0

i

j
.

{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle _{w}=0quad ineq j.}

{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle _{w}=0quad ineq j.}

Các phần tử của một tập hợp hàm trực chuẩn đối với w trên đoạn [a, b] nếu

f

i

,

f

j

w

=

δ

i
,
j

,

{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle _{w}=delta _{i,j},}

{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle _{w}=delta _{i,j},}

với

δ

i
,
j

=

{

1
,

i
=
j

0
,

i

j

{displaystyle delta _{i,j}=left{{begin{matrix}1,&&i=j\0,&&ineq jend{matrix}}right.}

{displaystyle delta _{i,j}=left{{begin{matrix}1,&&i=j\0,&&ineq jend{matrix}}right.}

là ký hiệu delta Kronecker. Nói cách khác, mỗi cặp của chúng (trừ các cặp ghép một hàm với chính nó) đều trực giao, và chuẩn của mỗi hàm đều bằng 1. Xem thêm đơn cử về đa thức trực giao.

Các ví dụ

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Các vectơ (1, 3, 2)T, (3, −1, 0)T, (1, 3, −5)T trực giao với nhau, chính do (1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1) + (−1)(3) + (0)(−5) = 0, và (1)(1) + (3)(3) + (2)(−5) = 0.
  • Hai vectơ (1, 0, 1, 0,…)T và (0, 1, 0, 1,…)T trực giao. Tích vô hướng của chúng bằng 0. Vì vậy ta có thể tổng quát hóa để xét các vectơ trong Z2n:

v

k

=

i
=
0

a
i
+
k
<
n

n

/

a

e

i

{displaystyle mathbf {v} _{k}=sum _{i=0 atop ai+k<n}^{n {displaystyle mathbf {v} _{k}=sum _{i=0 atop ai+k<n}^{n/a}mathbf {e} _{i}}

với 1 số ít nguyên dương bất kể a, và với

1 ≤ ka − 1

, các vectơ có dạng trên là trực giao, ví dụ:

[

1

0

0

1

0

0

1

0

]

{displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0end{bmatrix}}}

{displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0end{bmatrix}}}

[

0

1

0

0

1

0

0

1

]

{displaystyle {begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1end{bmatrix}}}

{displaystyle {begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1end{bmatrix}}}

[

0

0

1

0

0

1

0

0

]

{displaystyle {begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0end{bmatrix}}}

{displaystyle {begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0end{bmatrix}}}

  • Các hàm

    2t + 3

    45t2 + 9t − 17

    trực giao theo trọng số bằng đơn vị chức năng chức năng trên đoạn từ −1 đến 1:


1

1

(

2
t
+
3

)

(

45

t

2

+
9
t

17

)

d
t
=
0

{displaystyle int _{-1}^{1}left(2t+3right)left(45t^{2}+9t-17right),dt=0}

{displaystyle int _{-1}^{1}left(2t+3right)left(45t^{2}+9t-17right),dt=0}

  • Các hàm 1, sin(nx), cos(nx) với: n = 1, 2, 3,… trực giao với tích phân Riemann trên các đoạn

    [0, 2π]

    ,

    [−π, π]

    , hay trên bất kể đoạn đóng nào với độ dài 2π. Đây là một tác dụng quan trọng trong nghiên cứu và phân tích chuỗi Fourier.

Đa thức trực giao

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nhiều dãy đa thức được đặt tên theo các nhà toán học thời trước là dãy các đa thức trực giao. Ví dụ:

Các trạng thái trực giao trong cơ học lượng tử

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Viết một bình luận